複變函數積分與柯西積分定理

📝 歷屆考古題

• 114年 調查局三等申論題 第一題
  (一)f(x, y)在(1, -3)這個點上面的梯度（gradient）為何？（8 分）
  查看 AI 詳解 →
• 114年 調查局三等申論題 第一題
  (一)假設 C_1 : |z| = $\frac{2}{5}$（亦即在複變平面上以原點為中心，以$\frac{2}{5}$為半徑作出的圓）。試求出，\oint_{C_1} f(z)dz = ？
  查看 AI 詳解 →
• 114年 調查局三等申論題 第二題
  (二)f(x, y)在(1, -3)這個點上面沿著($\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}})$這個單位向量之方向的方向導數(directional deriv…
  查看 AI 詳解 →
• 114年 調查局三等申論題 第二題
  (二)假設 C_2 : |z| = $\frac{4}{5}$。試求出，\oint_{C_2} f(z)dz = ？
  查看 AI 詳解 →
• 114年 調查局三等申論題 第三題
  (三)假設 C_3 : |z| = $\frac{6}{5}$。試求出，\oint_{C_3} f(z)dz = ？
  查看 AI 詳解 →
• 113年 調查局三等申論題 第一題
  求 a_0, a_1, a_2 之值為何？（15 分）
  查看 AI 詳解 →
• 113年 調查局三等申論題 第二題
  求此泰勒級數（Taylor series）之收斂半徑（radius of convergence）R。（5 分）
  查看 AI 詳解 →
• 112年 調查局三等申論題 第三題
  三、求 $\int_{\Gamma} z^2 dz$，其中 $\Gamma(t) = t + it$ for $0 \le t \le 1$。（10 分）
  查看 AI 詳解 →
• 112年 調查局三等申論題 第四題
  四、若 $\ln(2 + 3i) = a + ib$，其中 $a$ 及 $b$ 為實數，求所有可能的 $a$ 和 $b$。（10 分）
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第一題
  請求出F⃗的散度（divergence），也就是∇ ⋅ F⃗，其中∇ = （∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z）（亦可寫為∇ = ı̂⋅∂/∂x + ̂⋅∂/∂y + k̂⋅∂/∂z，其中的ı、̂ 、̂…
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第一題
  當我們試圖將f(z)以題中所示之羅倫特展開式展開時，其實有某一些（或是某一個）複數平面上的點必須加以排除，請問是那一些？
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第二題
  請求出F⃗的旋度（curl），也就是∇ × F⃗。
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第二題
  我們將f(i)寫成f(i) = α + i ⋅ β (i = √-1)，那麼α =？β =？
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第三題
  ∇ ⋅ ∇ × F⃗ =？
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第三題
  如果我們用C來表示在複數平面上的單位圓（也就是x² + y² = 1）上面以逆時針方向從z = 1開始繞一圈走回原出發點，那麼∫_C f(z)dz =？
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第四題
  ∇ × ∇ × F⃗ =？
  查看 AI 詳解 →
• 111年 調查局三等申論題 第四題
  如果我們用K來表示在複數平面上以(x - 1)² + (y - 1)² = 1所描述的圓上面以逆時針方向從z = 1開始繞一圈走回原出發點，那麼∫_K f(z)dz =？
  查看 AI 詳解 →
• 110年 調查局三等申論題 第五題
  五、設 C 為複數平面上 |z| = 3之圓，求解： \oint_C $\frac{e^z}{(z+i)(z+2i)^3}dz, i = \sqrt{-1}$。（20 分）
  查看 AI 詳解 →
• 109年 調查局三等申論題 第一題
  f(z)可以寫成 f(z) = f(x + i∙y) = u(x, y) + i∙v(x, y)；求出 u(x, y)及 v(x, y)。（4分）
  查看 AI 詳解 →
• 109年 調查局三等申論題 第二題
  證明 u(x, y)及 v(x, y)在整個複數平面上都滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）。（6分）
  查看 AI 詳解 →
• 109年 調查局三等申論題 第三題
  在複數平面上，f(z)是否為可解析（analytic）函數？（3分）
  查看 AI 詳解 →
• 109年 調查局三等申論題 第四題
  令 Γ 表示在複數平面上的單位圓之中以逆時針方向從1+i∙0走到0+i∙1的曲線。計算下列積分的結果：\int_{\Gamma} f(z)dz。（7分）
  查看 AI 詳解 →
• 108年 調查局三等申論題 第一題
  一、令 C 為平面上一個簡單、封閉、正向而不通過原點之路徑，求解：（20 分） $\oint_C (\frac{y}{x^2} dx - \frac{1}{x} dy)$
  查看 AI 詳解 →
• 108年 調查局三等申論題 第三題
  三、令 $f(z) = \sin^2(z)/(z^2(z^2+4))$。若 $\Gamma$ 為一個包含 $z=0$ 以及 $z=2i$（但不包含 $z=-2i$）之封閉路徑。求解 $\oint_\Gamma f(z)dz$…
  查看 AI 詳解 →
• 107年 調查局三等申論題 第一題
  |z| = 1/3 。（10 分）
  查看 AI 詳解 →
• 107年 調查局三等申論題 第二題
  |z| = 3 。（10 分）
  查看 AI 詳解 →
• 106年 調查局三等申論題 第三題
  三、試求 \int_0^{2$\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(\theta)} d\theta$之值。（20 分）
  查看 AI 詳解 →
• 106年 調查局三等申論題 第五題
  五、求 \int_C x^2 dx - 2y z dy + z dz ，其中 C 係由起點 (1, 1, 1) 至終點 (4, 4, 4) 所定義之直線線段。（20 分）
  查看 AI 詳解 →
• 105年 調查局三等申論題 第一題
  子彈之速度（velocity）與速率（speed）各為何﹖（10 分）
  查看 AI 詳解 →
• 105年 調查局三等申論題 第二題
  若子彈從點 A = (2, 0, 0)飛行至點 B = (2, 0, 3π)，則對應之彈道曲線長度為何﹖（10 分）
  查看 AI 詳解 →